定积分的概念与基本性质定积分的定义定积分的基本性质定积分基本性质的推广
基本理论积分基本定理定理1 引理定理2 牛顿莱布尼茨公式
定积分的特殊性质1.对称区间上函数的定积分性质2.三角函数定积分的性质性质一性质二性质三性质四
3.周期函数定积分的性质
广义积分区间无限1.无上限2.无下限
区间有限
定积分应用
定积分的概念与基本性质
定积分的定义
这三个符号分别的意思分别是 所有区间里最宽的那个区间，第i个小区间上的任意点，第i个小区间的长度 几个注解，注意一下，第四个，那个地方是负号是因为你看函数表达式啊，+和-1 第六点是之前提到过的定积分的定义
两个小例题，巩固一下你对于定积分定义的理解
定积分的基本性质
定积分的几个基本性质，着重注意一下5和7，重点 给出积分中值定理的证明； 积分中值定理的证明
注意一下，积分中值定理是可能取到端点值的
定积分基本性质的推广
积分中值定理的推广
这个是很重要很关键的地方，和你之前一个地方连起来了，就是如果你需要用罗尔的话，那么必须保证那两个函数值相等的点的x不相等。 然后如果你用的是积分中值定理的话，那么就不能保证这一点了，但是如果你用推广的积分中值定理的话就可以了。
基本理论
下面是预备知识 两个注解
积分基本定理
定理1 引理
定理内容及其证明
几个注解
如果只看不定积分式子，x是常数，t才是变量然后这个x你不能把它放在式子里面，由于它是常数，你可以直接给它拆分洛必达，注意定积分求导之后的样子你做不出来了，你需要凑出导数的样子，然后利用一下题目给出的条件你就能做出来了。
定理2 牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨的证明，利用到了定理1，引理
定积分的特殊性质
1.对称区间上函数的定积分性质
证明部分
这个对称公式确实挺有用的
2.三角函数定积分的性质
性质一
意思就是这个意思，就是x+t等于a+b（左边的）就可以了 比如下面这个例子说a+t等于-a，然后左边的下线是-a，于是右边的下限就是0了
对于那个微分的变换的方式，就是两边求微分
证出来了
不定积分的公式你在定积分里面照样用，就是你需要注意一下积分限也需要变换变换是这样变换的，相加是这样相加的，说实话，很妙
特别的性质，说实话，看了例子之后会发现很好用
看了之后发现这个很好用 要不直接一整题挖空？ （挖空位置随点）
看到可以变成平方和去变尽量全部都变成一个形态的积分的话，你里面的东西无所谓，直接替换，就是你的积分限需要变一下考虑把平方和乘出来发现对称区间，找机会利用以下奇函数和偶函数的规则
插播一下奇函数和偶函数的加减乘除规则 乘除就是把奇函数当作负数，偶函数当作正数，规则一样 加减： 两个奇函数或者偶函数相加减还是奇函数偶函数 一个基函数和偶函数相加减是非奇非偶函数
最后那个是I4
这种第二问你必须得找机会用到第一问的结论
在这里插入图片描述
做题就是找指引，无指引，不做题，你也做不了题，从题目给你的信息中找到蛛丝马迹，看他想要你怎么走
小积累
性质二
cos用这个公式的条件
一步一步全部都是知识点
这里最后一步的两倍是因为不是0到Π/2而是0到Π
性质三
性质四
3.周期函数定积分的性质
广义积分
正常积分：
积分区间有限被积函数在有限区间上连续或存在有限第一类间断点
稍微看看就好，不用空
区间无限
1.无上限
看看就好
这样看来，反常积分，和普通积分有差吗？没差啊 判别法及其应用，重要
很重要就是要全背下来，1和2的差别就是一个是2是整数，1可以不是
就这么简单，就你现在的空可以开始尝试全挖，答案全挖试一下
2.无下限
如果说上下界都是无限，那么你就从中间断开，看上和下的敛散性，如果有一个发散，那整个就是发散
区间有限
就是你的区间是有限的，但是你的区间一个东西代进去会发现右边的式子不存在 判别法
上面那一步就是单纯公式啊，公式你忘记了
这么多判别法呢，这里总结一下吧 就是好像没有特别特别好的规律，就前两个和后两个是差不多的，不过还是得自己去背嗯
找到规律了！！！
x 趋于无穷：大于1收敛 x 趋于一个固定值：小于1收敛
（x是指你需要判别的瑕点！需要你自己找的）
反正如果等于1就肯定是发散了
暂且就这样记忆，到时候出问题了再进一步细化找另一个规律
定积分应用
小推导，就是注意一下那个是ds，是斜的 不是很清楚，说实话，到时候依据例题再次理解一下吧
看不懂了？
公式这里暂时摆烂。后面例题中再理解
好题，结合了前面很多的知识点
然后对于这种东西呢，公式不重要，好推的
好题，联系了几个知识点 这种题呢就深刻地告诉了你，这公式不是必要的，你就把它看作是能绕一圈的去绕一圈，然后把x和y中的一个当作自变量，最后出现的式子没有另一个就行了。